Temel Bilgi ve İşlem Yeteneği - 1
Matematik Temel Bilgi ve İşlem Yeteneği - 2
Tam Sayılar ve Sayı Çeşitleri
Asal Sayılar
Ardışık Sayılar ve Aritmetik Dizi
Faktöriyel 
Sayı Sistemleri - Basamak Değeri
Taban Aritmetiği 
Bölme İşlemi - Bölen Kalan İlişkisi 
Bölünebilme Kuralları
Asal Çarpanlara Ayırma
OBEB - OKEK
Rasyonel Sayılar
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem
Ondalıklı Sayılar
Rasyonel Sayılarda Sıralama
Basit Eşitsizlikler
Mutlak Değer
Üslü Sayılar
Köklü Sayılar

Kpss matematik dersinin konularına önem vermekte ve bu yüzden her yıl 30 soru sormaktadır. Geometri konuları da bu alana dahildir ve bu 30 sorunun 3  tanesi geotmeri sorularına ayrılmıştır. Birçok memur adayı matematik dersini yıllar önce görmesine rağmen, bu alandan maalesef kpss sınavında sorumlu tutulmaktadır. Bu durum birçok kişinin matematik alanında yeterli düzeyde olmaması sebebiyle soruların cevaplanma oranlarını azaltmaktadır.

Unutmayın ki kpss matematik konularına çalışmak yetmez , yani ”konuyu öğreneyim yeter” mantığı ne matemik dersi için ne de diğer dersler için geçerlidir. Bu yüzden bol bol matematik soruları çözülmeli ve çözemediğimiz soruların konuları tekrar gözden geçirilmelidir.

Kpss matematik konuları; temel bilgi ve işlem yeteneği, temel kavramlar, asal çarpanlara ayırma, obeb-okek, rasyonel sayılar, basit eşitsizlikler, mutlak değer, üslü sayılar, köklü sayılar,çarpanlara ayırma, oran – orantı, denkelm çözme, sayı problemleri, yaş problemleri, kesir problemleri, kar – zarar, yüzde ve faiz problemleri, karışım problemleri, işçi ve havuz problemleri, hız problemleri, grafik okuma , kümeler, işlem ve modüler aritmetik, ikinci dereceden denklemler, permütasyon, kombinasyon ve olasılık konularından oluşmaktadır. Bu konulara yukarıdaki linklerden ulaşabilirsiniz. Hepinize başarılar dileriz.

Bu yazı Kpss Matematik ilk olarak şurada görüldü: .

Köklü Sayılar (Köklü İfadeler), Ortaokulda okuyan arkadaşlarımızın da işlediği ve KPSS’ye hazırlananların daha önceden duyduğu ifadeyle kareköklü sayılar, hemen hemen her yıl soru olarak karşımıza çıkmaktadır. Zorluk dereceleri değişkenlik gösterse de muhakkak en azından bir soru ile karşılaşmaktayız.

Özellikle sözelci arkadaşlarımız bu konuyu direkt es geçmektedir.

Ancak kesinlikle bu ön yargının yıkılması ve köklü sayılar konusunun geçilmez bir duvar olarak algılanmaması gerekiyor. Bir önceki Matematik dersinde Üslü Sayılar konusunu işlemiştik. Şimdi Köklü Sayılar konusuna göz atalım.

Köklü Sayılar (Köklü İfadeler) | Kareköklü Sayılar

Köklü Sayılar nasıl oluşur? Bir tanımla anlatalım bunu:

n, 1’den büyük pozitif bir tam sayı olmak üzere, $\displaystyle {{a}^{n}}=x$ denklemini sağlayan a sayısına x’in ‘n’ dereceden kökü denir ve bu da $\displaystyle a=\sqrt[n]{x}$ şeklinde gösterilir.

Bu tanımdan sonra dikkat etmemiz gereken 2 nokta var. Bunlar:

• Köklü bir ifadede kökün derecesi yazmıyorsa 2 olarak kabul edilir.
• $\displaystyle \sqrt[x]{0}=0$ Yani kök içindeki sıfır, derecesi ne olursa olsun, dışarı hep 0 olarak çıkar.

Şimdi bu tanımlardan sonra 11 başlık altında köklü sayıların nasıl karşımıza çıktığına bakalım.

Köklü Sayılarda Tanımlılık

Az önce tanım yapmadık mı? Bu ne peki? Şöyle ki, bu bir tanım değil. Burada ‘Bir köklü ifadenin köklü sayı olarak tanımlanabilmesi için hangi şartlar gerekir?’ sorusunun cevabını vereceğiz.

$\displaystyle a=\sqrt[n]{x}$ diye karşımıza çıkan bir köklü ifadenin tanımlı olabilmesi için, diğer bir deyişle reel yani gerçek bir sayı belirtmesi için şu şartlar gerekir;

a) Kök derecesi çift ise kök içindeki sayı 0’dan büyük ya da sıfıra eşit olmalıdır.

Bu şart matematik dilinde şöyle tanımlanır:

n çift iken x<0 ise $\displaystyle \sqrt[n]{x}$ ifadesi tanımsızdır.

Örnekler

b) Kök derecesi tek ise kök içi aklınıza gelebilecek her değeri alabilir. Negatif, pozitif farketmez.

Örnekler

Kök İçindeki Sayıyı Kök Dışına Çıkarma

Kök içindeki bir sayının kök dışına çıkması şu şekilde gerçekleşir:

Köklü Sayılarda Sadeleştirme – Genişletme

a) Sadeleştirme: Kök derecesi ve kök içindeki sayının derecesine bakılır. Bunları, problem içinde ihtiyaç duyacağımız ve tam olarak bölebilecek bir sayıya böleriz ve ifade sadeleştirilir. Şöyle ki;

b) Genişletme: Bu sefer de genişletmek istediğimiz ortak sayı ile kökün derecesi ve kök içindeki sayının derecesi çarpılır.

Köklü Sayıların Üslü Sayıya Çevrilmesi

İki başlık öncesini hatırlarsak kök içindeki sayının kuvvetini köklü ifadenin derecesine bölerek, sayıyı kök dışına çıkartıyorduk. İşte bu yöntemle köklü sayı üslü sayıya dönüştürülür. Matematik dilinde de şöyle tanımlayabiliriz:

$\displaystyle \sqrt[z]{{{{x}^{y}}}}={{x}^{{\frac{y}{z}}}}$

Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılması için 2 şart vardır. Bunlar, toplanacak veya çıkarılacak ifadelerde, kökün derecesi ve kök içindeki sayının AYNI olma şartlarıdır.

Köklü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Toplama ve çıkarmada kök dereceleri ve kök içindeki sayı aynı olmalıydı. Çarpma veya bölmede ise işlemin yapılabilmesi için sadece kök derecelerinin AYNI olması yeterlidir. Kök dereceleri aynı ise kök içindeki sayılar aynı köklü ifadede çarpılır veya bölünür.

İç İçe Köklü Sayılar

Köklü ifadelerin dışarı çıkarılmasını görmüştük. İç içe kökler ise bunun tersinin yapılmış halidir.

Peki bir sayı kök içine nasıl alınır? Şöyle ki, kök içine alınacak sayının üssü, içine alacağımız kökün kuvveti ile çarpılır.

$\displaystyle a.\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{{{{a}^{n}}.x}}$ Burada da görüldüğü üzere ‘a’ sayısının üssü içine gireceği kök derecei olan ‘n’ ile çarpılmış ve kök içine dahil edilmiştir.

İç içe kökler tek bir kök içine alınırken yapılacak şey kök kuvvetlerini çarpmaktır.

Eşlenik İfade (Paydayı Rasyonel Yapma)

Bazı sorularda paydadaki sayılar karşımıza köklü olarak çıkmaktadır. Bu durumda paydayı kökten kurtarmamız gerekebilir, yani rasyonel yapmamız gerekir. Bunu gerçekleştirmenin yolu paydadaki köklü ifadeyi eşleniği ile çarpmaktır.

$\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{5}}}$ ifadesinde paydayı kökten kurtaralım:

$\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{1.\sqrt{5}}}{{\sqrt{5}.\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt[{\not{2}}]{{{{5}^{{\not{2}}}}}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Görüldüğü üzere paydadaki $\displaystyle \sqrt{5}$ ifadesini rasyonel yapmak için pay ve paydayı $\displaystyle \sqrt{5}$ ile çarpıyoruz.

Peki eşlenik demek aynı sayıyla çarpılması demek mi? Hayır değil. Paydayı köklü ifadeden kurtaracak sayıyla çarpmaktır. Aşağıdaki ifadeleri inceleyelim.

• $\displaystyle \sqrt{x}$ sayısının eşleniği $\displaystyle \sqrt{x}$’tir. Çünkü çarpıldığında x olarak karşımıza çıkar.
• $\displaystyle \sqrt{a}-\sqrt{b}$ ifadesinin eşleniği $\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}$’dir. Bu ifadeler çarpıldığında $\displaystyle {{\left( {\sqrt{a}} \right)}^{2}}-{{\left( {\sqrt{b}} \right)}^{2}}=a-b$ sonucu karşımıza çıkar ve ifade kökten kurtulur.
• $\displaystyle a+\sqrt{b}$ ifadesinin eşleniği $\displaystyle a-\sqrt{b}$’dir. Bu ifadeler çarpıldığında $\displaystyle {{a}^{2}}-b$ ifadesi karşımıza çıkar ve kökten kurtarmış oluruz.
• $\displaystyle \sqrt{a}-b$ ifadesinin eşleniği $\displaystyle \sqrt{a}+b$’dir. Çünkü ancak bu ifadeler birbirleriyle çarpıldığında $\displaystyle {{\left( {\sqrt{a}} \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=a-{{b}^{2}}$ ifadesi karşımıza çıkar ve ifade kökten kurtulur.

Özel Kök

$\displaystyle \sqrt{{a\pm 2\sqrt{b}}}$ şeklindeki ifadelere özel kök denmektedir. Bu şekilde karşımıza çıkan ifadelerin özel kök olabilmesi için 3 şart gerekir.

• İfade iç içe kök olmalıdır.
• Kökün derecesi 2 olmalıdır.
• Kök içindeki kökün başında 2 katsayı bulunmalı.

Peki özel kökler kök dışına nasıl çıkartılır? Öncelikle ‘b’ sayısı çarpanlarına ayrılır. Fakat bu çarpanlar öyle sayılar olmalı ki toplamı ‘a’ sayısına eşit olmalı. Ancak bu şekilde ‘b’ sayısının çarpanları ayrı ayrı kök içinde dışarıya çıkarlar. Şimdi önce bunu matematiksel dilde nasıl ifade edebiliriz ona bakalım. Sonra da bir örnekle pekiştirelim.

$\displaystyle \sqrt{{a\pm 2\sqrt{{\underset{{{}_{x}\swarrow {{\searrow }_{y}}}}{\mathop{b}}\,}}}}\text{ }$

Bu matematiksel ifadede, b’nin çarpanları ($\displaystyle b=x.y$) toplandığında a’ya eşitse ($\displaystyle a=x+y$) , bu çarpanlar ayrı ayrı kök içinde artık dışarıya çıkabilirler ($\displaystyle \sqrt{x}\pm \sqrt{y}$) denilmektedir. Şimdi bunla ilgili birkaç örnek çözelim.

Sonsuz Kök

Sonsuz kökler $\displaystyle \sqrt{{x\mp \sqrt{{x\mp \sqrt{{x\mp ….}}}}}}$ şeklinde karşımıza çıkabilmektedir. Böyle ifadeleri, yani sonsuz kökleri gördüğümüzde bazı kuralları göz önüne getirmek lazım. Çünkü bu ifadelerden değişik sorular çıkmaktadır. Fakat diğer tanımlara göre çözümleri daha akılda kalıcı ve kolaydır. Şimdi karşımıza çıkabilecek sorulara göre bu kuralları inceleyelim.

Toplam (+) halindeki bir sonsuz kök içindeki sayı, ardışık iki sayının çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa bu işlemin sonucu çarpanlardan büyük olana eşittir. Fakat çıkarma (-) halindeki bir sonsuz kök içindeki sayı, ardışık iki sayının çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa bu işlemin sonucu çarpanlardan küçük olana eşittir. Bunları matematiksel ifade olarak ve örneklerle açıklayalım.

Şimdi de sonsuz köklerde çarpma ve bölme olarak karşımıza çıkan şu kuralı inceleyelim:

Burada denilmek istenen şu; bu şekilde çarpım halinde bir sonsuz köklü gördüğünüzde sonuç, o sayının köklü ifadesinin derecesinden 1 eksiltilmesiyle ortaya çıkar. Bölme halinde ise kökün derecesinin 1 arttırılmasıyla sonuca ulaşılır.

Köklü Sayılarda Sıralama

Köklü ifadelerin son bölümü olan köklü sayılar konusunda sıralama başlığını irdeleyelim. Bilmemiz Gereken 2 kural vardır. Bunlar;

• Eğer sıralanacak köklü ifadelerin kök dereceleri aynıysa sadece kök içindeki sayıya bakılır. Eğer kök derecesi aynıysa sıralama basittir. Sayısı küçük olandan büyük olana doğru sıralanır.

• Eğer sıralanacak köklü ifadelerin dereceleri farklı ise önce bu ifadelerin kök dereceleri eşitlenir. Bunu da OKEK ile yapabiliriz. Köklerin dereceleri eşitlendikten sonra yine kök içindeki sayıya bakılarak sıralama yapılır.

Böylece KPSS genel kültür matematik konularından Köklü Sayılar konusu tamamlanmış oldu. Lütfen konu ile ilgili bolca test çözünüz. Sadece konu anlatımı ve kısa örnekler bu konunun kısa sürede unutulmasına sebep olur. Ayrıca farklı kaynaklardan yararlanmayı da unutmayın.

Bir sonraki matematik konumuz Çarpanlara Ayırma olacaktır.

Bu yazı Köklü Sayılar (Köklü İfadeler) Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri ilk olarak şurada görüldü: .

Üslü Sayılar

a reel bir sayı ve n pozitif bir tam sayı olduğunda n tane a sayısı çarpımının sonucu olan $ \displaystyle {{a}^{n}}$ ifadesine üslü sayı denir.

$ \displaystyle {{a}^{n}}$ ifadesinde a taban, n ise üs olmaktadır.

Üslü sayılarda taban, üste bulunan sayı kadar yanyana yazılır ve çarpılır.

a.a.a=$ \displaystyle {{a}^{3}}$

$ \displaystyle \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}$

$ \displaystyle \left( -\frac{1}{5} \right).\left( -\frac{1}{5} \right)={{\left( -\frac{1}{5} \right)}^{2}}$

n tane a nın toplanması durumunda;

a+a+a+a+a+………+a=n.a olur.

Çarpılması durumunda ise

a.a.a.a.a.a.a………….a= $ \displaystyle {{a}^{n}}$ olur.

Üslü Sayıların Özellikleri 

1. a sayısı sıfırdan farklı olmak üzere a sayısının sıfırıncı kuvveti bire eşittir. Yani, $ \displaystyle {{a}^{0}}$=1 olur.

Fakat  tabanın ve üssün aynı anda sıfır olması durumunda sonuç belirsiz olur.

$ \displaystyle {{0}^{0}}$= belirsiz

2. 1 sayısının her sayı kuvveti yine 1 e eşittir.

$ \displaystyle {{1}^{n}}$=1

3. Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitif bir tam sayıya eşittir.

$ \displaystyle {{2}^{2}}$,$ \displaystyle {{3}^{-7}}$ sayılarının sonucu tabanları pozitif sayı olduğu için daima pozitiftir. Kuvvetlerinin yani üssün ne olduğu önemli değildir. Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ise negatif sayıdır. Parantezin kullanımı önemlidir.

$ \displaystyle {{\left( – \right)}^{çift}}=+$

$ \displaystyle {{\left( – \right)}^{tek}}=-$

4. Kuvvetleri alınmış bir sayının tekrar kuvvetini almak için kuvvetleri çarparız.

$ \displaystyle {{\left( {{2}^{3}} \right)}^{2}}={{2}^{3.2}}={{2}^{6}}$

$ \displaystyle {{\left( {{3}^{-3}} \right)}^{4}}={{3}^{-3.4}}={{3}^{-12}}$

$ \displaystyle {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{y}}$ şeklinde yazılan bir sayının,

$ \displaystyle {{\left( {{a}^{y}} \right)}^{x}}$ şeklinde olduğu da unutulmamalıdır.

5. Bir sayının negatif kuvveti alırken, sayının kuvvetini pozitif yapmak için sayı önce ters çevrilir daha sonra kuvveti alınır.

Kpss genel yetenek matematik dersi Üslü Sayılar konusunu tamamladık. Bir sonraki genel yetenek matematik dersi konumuz Üslü Sayılarda Dört İşlem olacaktır.

Bu yazı Üslü Sayılar ilk olarak şurada görüldü: .

Mutlak Değer konusu kpss de karşımıza sıkça çıkan soru tiplerindendir. Genellikle hata yapılan ve öğrenmesi karmaşık olarak görülen bu konuyu en basit düzeye indirerek elimizden geldiğince anlatmaya çalışacağız. Önceki konumuzda Basit Eşitsizlikleri işlemiştik. Sıradaki konumuz ise Mutlak Değer olacak.

Mutlak Değer

Bir x reel sayısının sıfıra uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. Ve mutlak değer $ \displaystyle \left| x \right|$ şeklinde gösterilmektedir.

Bir sayıyı mutlak değer ifadesinden kurtarırken, mutlak değer içerisindeki sayının önce işareti incelenir.

İşaretler (+) ise mutlak değer üzerine (+) işareti, işareti (-) ise mutlak değeri üzerine (-) işareti konur. Ve bu sayı mutlak değer ifadesinde dışarı alınırken üzerine konulan işaret ile mutlak değer içinde yer alan sayı ile çarpılır ve mutlak değerden kurtarılmış olur.

Mutlak değerin içinde bilinen bir reel sayı varsa işaretine bakılmadan dışarı (+) olarak çıkarılır.

Mutlak değerin içindeki değer ne olursa olsun, sonuç daima ya sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olur.

($ \displaystyle \left| x \right|$ ≥ 0)

Bir mutlak değerli ifadenin sonucu asla sıfırdan küçük bir sayı olamaz. Ancak herhangi bir harf mutlak değerden kurtulduğunda önüne (-) işareti geliyorsa bu sonucun pozitif olması içindir.

x<0 iken $ \displaystyle \left| -x \right|$ = +. (-x)=-x

Mutlak Değer Özellikleri

Her x,y reel sayısı için

1. $ \displaystyle \left| x \right|$≥ 0 olur. Yani mutlak değerin sonucu ya sıfır ya da pozitif bir sayıdır.

2. $ \displaystyle \left| x.y \right|$= $ \displaystyle \left| x \right|$.$ \displaystyle \left| y \right|$ ve y≠0 olmak üzere,

$ \displaystyle \left| \frac{x}{y} \right|$=$ \displaystyle \frac{\left| x \right|}{\left| y \right|}$ olur.

3. $ \displaystyle \left| x-y \right|$=$ \displaystyle \left| y-x \right|$ yani $ \displaystyle \left| x \right|$=$ \displaystyle \left| -x \right|$

$ \displaystyle \left| -2 \right|$=$ \displaystyle \left| 2 \right|$

4. $ \displaystyle \left| {{x}^{a}} \right|={{\left| x \right|}^{a}}$

Mutlak değerli denklemler;

1. $ \displaystyle \left| x \right|$=0 ise a=0 olur.

a ve b birer reel sayı olsun

$ \displaystyle \left| a \right|$+$ \displaystyle \left| b \right|$=0 ise

a=0, y=0 olur.

2. b≥0 olmak üzere

$ \displaystyle \left| a \right|$=b ise a=b veya a=-b olur.

3. $ \displaystyle \left| a \right|$=$ \displaystyle \left| b \right|$ ise

a=b veya a=-b dir.

Mutlak değerli eşitsizlikler;

a pozitif olmak üzere,

$ \displaystyle \left| x \right|$<a ise,

x>0  ise x<a,

x<0  ise -x<a (-) ile çarparsak x>-a olur.

$ \displaystyle \left| x \right|$>a ise

x>0 ise x>a dır.

x<-a ise -x>a (-) çarparsak x<-a olur.

Kpss genel yetenek matematik dersine ait Mutlak Değer konusunu tamamladık. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz ise Üslü Sayılar olacaktır.

Bu yazı Mutlak Değer ilk olarak şurada görüldü: .

Basit Eşitsizlikler konusu her yıl kpss matematik dersinden ortalama bir sorunun geldiği bir konudur. Basit Eşitsizlikler konumuz anlaşılmasında biraz zorluk yaşanan bir konudur. Fakat çözeceğiniz bol soru ve örneklerle konuyu daha iyi kavrayabilirsiniz. Konumuzda basit eşitlikler ve özelliklerini inceleyeceğiz. Önceki konumuzda Rasyonel Sayılarda Sıralamayı işlemiştik. Sıradaki konumuz ise Basit Eşitsizlikler olacaktır.

Basit Eşitsizlikler

>, ≥, <, ≤ gibi sembollerle gösterilen ifadelere eşitsizlik denmektedir.

a ve b reel sayılar olmak üzere a<b, a≥b, a>b, a≤b şeklindeki ifadeler bir basit eşitsizliktir.

Örnek;

a bir pozitif reel sayı ise a>0 olarak eşitsizlik ile gösterilebilir.

b negatif reel sayı ise b<0 olarak eşitsizlik ile gösterilebilir.

Basit Eşitsizliklerin Özellikleri

1.Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenip çıkartılabilir. Bu eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

a<b  iken her iki tarafa aynı sayıyı eklersek   a+c<b+c

Yani 5<7 iken 5+4<7+4  yani 9<11 olur.

2.Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif bir sayı ile çarpılırsa veya bölünürse, bu eşitsizlik yön değiştirmez.

a>b iken ve c>0 iken a.c<b.c’dir.

3. Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse, eşitsizlik yön değiştirir.

a<b iken ve c<0 iken a.c>b.c’dir.

4. Yönü aynı olan eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.

a<b ve c<d iken

a+c<b+d olabilir.

 5. 0<a<b iken a<b , $ \displaystyle \frac{1}{a}$>$ \displaystyle \frac{1}{b}$

6.Zıt işaretli sayılardan oluşan eşitsizliklerin çarpma işlemine göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirmez.

a<0<b iken a<b , $ \displaystyle \frac{1}{a}$<$ \displaystyle \frac{1}{b}$

7. a ve b birer pozitif reel sayı ve x pozitif tam sayı olmak üzere ;

0<a<b iken  $ \displaystyle {{a}^{x}}$< $ \displaystyle {{b}^{x}}$

8. a ve b negatif birer sayı ve x pozitif bir tam sayı olduğunda;

a<b<0,  x tek ise, $ \displaystyle {{a}^{x}}$<$ \displaystyle {{b}^{x}}$

x çift ise, $ \displaystyle {{a}^{x}}$>$ \displaystyle {{b}^{x}}$ olur.

9. 0 ve 1 arasındaki pozitif ve basit olan kesirlerin kuvveti arttıkça sayının değeri de azalır.

$ \displaystyle {{a}^{2}}$<a   ise    0<a<1 olur.

10. $ \displaystyle {{a}^{3}}$<a ise a< -1 ya da 0<a<1 olur.

Kpss genel yetenek matematik dersine ait Basit Eşitsizlikler konusunu tamamladık. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz ise Mutlak Değer olacaktır.

Bu yazı Basit Eşitsizlikler ilk olarak şurada görüldü: .

Rasyonel Sayılarda Sıralama konusundan kpss de çıkabilecek 5 tip soru vardır. Bu soru tiplerini tek tek inceleyeceğiz. Önceki konumuzda Ondalıklı sayılar konusunu işlemiştik. Sıradaki konumuz ise Rasyonel Sayılarda Sıralama olacak.

Rasyonel Sayılarda Sıralama

Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı en büyük olan daha büyüktür.

$ \displaystyle \frac{3}{5}$<$ \displaystyle \frac{8}{5}$<$ \displaystyle \frac{11}{5}$

$ \displaystyle \frac{2}{10}$<$ \displaystyle \frac{5}{10}$<$ \displaystyle \frac{9}{10}$

Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan paydası küçük olan rasyonel sayı daha büyüktür.

$ \displaystyle \frac{9}{7}$>$ \displaystyle \frac{9}{8}$>$ \displaystyle \frac{9}{10}$

$ \displaystyle \frac{12}{9}$>$ \displaystyle \frac{12}{10}$>$ \displaystyle \frac{12}{11}$

Negatif rasyonel sayılar sıralanırken sayı pozitif gibi düşünülür. Pozitif sayılardaki gibi sıralama yapılır ve daha sonra sıralama yönü değiştirilerek asıl sıralamaya ulaşılır.

-$ \displaystyle \frac{1}{5}$,-$ \displaystyle \frac{4}{5}$,-$ \displaystyle \frac{3}{5}$ kesirlerini sıralayalım.

-$ \displaystyle \frac{1}{5}$<-$ \displaystyle \frac{3}{5}$<-$ \displaystyle \frac{4}{5}$ kesirler pozitif kesir gibi sıralanır ve eşitliğin yönü değiştirilir.

-$ \displaystyle \frac{1}{5}$>-$ \displaystyle \frac{3}{5}$>-$ \displaystyle \frac{4}{5}$ ve asıl sıralamaya ulaşılır.

Pay ve paydası eşit olmayan rasyonel sayılar sıralanırken pay veya payda eşitlenir. Hangisi daha kolay eşitleniyorsa o eşitlenir. Ve tekrar pozitif rasyonel sayılardaki kural uygulanır.

Payı ve paydası arasındaki farkı eşit olan basit kesirler pay ve paydası büyük olan daha büyüktür.

$ \displaystyle \frac{20}{21}$, $ \displaystyle \frac{200}{201}$,$ \displaystyle \frac{2000}{2001}$ kesirlerini küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

$ \displaystyle \frac{20}{21}$+$ \displaystyle \frac{1}{21}$=$ \displaystyle \frac{200}{201}$+$ \displaystyle \frac{1}{201}$+$ \displaystyle \frac{2000}{2001}$+$ \displaystyle \frac{1}{2001}$

Sayılarını eklediğimizde toplam hepsinde “1” olur.

$ \displaystyle \frac{1}{21}$>$ \displaystyle \frac{1}{201}$>$ \displaystyle \frac{1}{2001}$

İlk sayıya daha büyük bir sayı ekliyorsak 1’e tamamlamak için bu sayı diğerlerinden daha küçüktür.

$ \displaystyle \frac{20}{21}$<$ \displaystyle \frac{200}{201}$<$ \displaystyle \frac{2000}{2001}$

Sonuç olarak pay ve paydası arasındaki fark eşit olan basit kesirler sıralanırken pay ve paydası büyük olan daha büyüktür.

Bu anlatılan tiplerin hiçbirine uyum sağlamıyorsa pay ve payda arasındaki farka bakılır. Pay ve paydaya ne kadar yakınsa kesir 1’e o kadar yakındır. Pozitif kesirlerde bir birleşik kesir daima bir basit kesirden büyüktür.

Kpss genel yetenek matematik dersine ait Rasyonel Sayılarda Sıralama konusunu tamamladık. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz ise Basit Eşitsizlikler olacaktır.

Bu yazı Rasyonel Sayılarda Sıralama ilk olarak şurada görüldü: .

Ondalıklı Sayılar kesirlerin ondalıklı sayı biçiminde yazılması ile elde edilen sayılardır. Ondalıklı sayılarda dört işlem ve devirli ondalıklı sayılar konusunu inceleyeceğiz. Önceki kpss matematik konumuzda Rasyonel Sayılarda Dört İşlem konusunu işledik. Sıradaki konumuz ise Ondalıklı Sayılar olacaktır.

 Ondalıklı Sayılar

Paydası 10,100,1000…. gibi 10’un pozitif kuvvetleri olan kesirlere ondalık kesir denir. Ondalık kesirlere karşı gelen virgüllü sayılara ondalık sayı denir.

$ \displaystyle \frac{5}{10}$=0,5

$ \displaystyle \frac{725}{1000}$=0,725

$ \displaystyle \frac{187}{100}$=1,87

$ \displaystyle \frac{3}{100}$=0,03

Paydadaki sıfır sayısı ile virgülden sonraki basamak sayıları eşittir.

Ondalıklı Sayılarda Dört İşlem

1. Toplama Çıkarma İşlemleri

Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken virgüller alt alta gelecek şekilde sayılar yazılır. Toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. Sonuç virgülün tam hizasından yine virgülle ayrılır.

2. Çarpma İşlemi

Ondalıklı sayılar çarpılırken arada sanki virgül yokmuş gibi çarpılır. Ve bulunan sonuç üzerinde önceki sayıların virgülden sonraki basamak sayıları toplamı kadar sola doğru gidilip virgül konur.

3.Bölme İşlemi

Ondalıklı sayılar bölünürken iki türlü yol izlenir.

1. yolda pay ve payda ondalıklı kesir şeklinde yazılır ve rasyonel sayı bölmesi uygulanır.

Devirli Ondalıklı Sayılar

Bir ondalık sayının virgülden sonraki kısmında belli bir düzende tekrar eden sayılar varsa bu sayılara devirli ondalık sayılar denir.

Devirli ondalık sayılar da rasyonel sayılara denk gelmektedir.

$ \displaystyle \frac{(Say\imath n\imath nTamam\imath )-(DevretmeyenK\imath s\imath m)}{\left( \begin{matrix}
Devreden & Basamak \\
Say\imath s{{\imath }_{{}}} & Kadar9 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
Virg\ddot{u}lden & Sonra & {} \\
Devretmeyen & Basamak & {} \\
Say\imath s\imath & Kadar0 & {} \\
\end{matrix} \right)}$

Kpss genel yetenek matematik dersine ait Ondalıklı Sayılar konusunu tamamladık. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz ise Rasyonel Sayıların Sıralanması olacaktır.

Bu yazı Ondalıklı Sayılar ilk olarak şurada görüldü: .

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem konumuzda rasyonel sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini göreceğiz.Rasyonel sayılar konusunun devamı niteliğinde olan bu konumuzdan kpss de yine çok sayıda soru gelmiştir. Konuyu tamamladıktan sonra bol soru çözmeniz faydalı olacaktır. Önceki konumuzda Rasyonel Sayıları inceledik. Sıradaki konumuz ise Rasyonel Sayılarda Dört İşlem olacak.

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem konumuzun başlıklarını hep birlikte inceleyelim.

1. Toplama- Çıkarma İşlemleri

Paydaları aynı olan rasyonel sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapılırken paylar toplanır veya çıkartılarak yazılır, payda ise aynen yazılır.

$ \displaystyle \frac{a}{b}$±$ \displaystyle \frac{a}{b}$=$ \displaystyle \frac{a\pm c}{b}$

Eğer toplama veya çıkarma yapacağımız kesirlerin paydaları birbirinden farklı ise önce paydaları eşitlememiz gerekmektedir. Paydaları eşitlemek için ortak payda sağlayacak sayılarla her iki kesrin pay ve paydaları çarpılır. Paydaları eşitlenen kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleri yine aynı şekilde yapılır.

Örneğimizde de görüldüğü gibi birbirine eşit olmayan 2 ve 3 paydalarının eşit hale gelmesi için paydalar en küçük ortak katta eşitlendi.

2. Çarpma

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılır iken iki kesrin payları çarpılıp paya, yine iki kesrin paydaları çarpılıp paydaya yazılır.

$ \displaystyle \frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$

Eğer doğal bir sayı ile kesrimiz çarpılıyorsa bu doğal sayının payda kısmına bir yazılarak çarpma işlemi aynı biçimde yapılır.

$ \displaystyle a.\frac{c}{d}=\frac{a}{1}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{d}$

Genel olarak tam sayılı kesir ile bir kesrin tam sayı ile çarpılması birbiriyle karıştırılır.

3. Bölme

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken ilk kesir aynen yazılır ve ikinci kesir ters çevrilip yani pay paydanın yerine, payda ise payın yerine yazılır. Ve bu iki kesir bu biçimde iken çarpılır.

Kesirlerin Genişletilmesi İşlemi

Bir rasyonel sayı yani kesir genişletilirken aynı anda hem pay hem de payda genişletilir. Kesrin payı ve paydası genişletilmek istenen sayı ile çarpılır.

Kesirlerin Sadeleştirilmesi

Bir kesir sadeleştirilirken aynı anda hem pay hem de payda sadeleştirme işlemi yapılacak bu sayıya bölünür.

Kpss genel yetenek matematik dersine ait Rasyonel Sayılarda Dört İşlem konusunu tamamladık. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz ise Ondalıklı Sayılar olacaktır.

Bu yazı Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ilk olarak şurada görüldü: .

Rasyonel Sayılar konusu kpss matematik bölümünde en az bir sorunun geleceği bir konudur. Bu önemli konuyu iyi kavramak gereklidir. Yapı itibari ile basit bir konu olarak görülse de kpss sınavında dikkat gerektiren sorular karşımıza çıkmaktadır. Önceki konumuzda OBEB-OKEK i inceledik. Sıradaki konumuz ise Rasyonel Sayılar olacak.

Rasyonel Sayılar

a ve b tam sayı , b≠0 olması şartıyla $ \displaystyle \frac{a}{b}$ şeklinde yazılan sayılar rasyonel sayılardır.

Payda 1 olduğunda $ \displaystyle \frac{a}{b}$kesri tam sayı olur. Tüm tam sayılar aynı zamanda birer rasyonel sayıdır. Yani tam sayılar paydası “1” olan rasyonel sayılardır.

Pay sıfıra eşit ise sonuç sıfır olur. Payda sıfıra eşit ise bu rasyonel sayı tanımsızdır. Payın ve paydanın aynı anda 0 olması durumunda ise rasyonel sayı belirsizdir.

Kesirler 3 çeşide ayrılır;

1.Basit Kesir

Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Burada kesirin işaretine bakılmaz.

$ \displaystyle \frac{a}{b}$ basit kesir ise a<b olmalıdır.

2. Bileşik Kesirler

Payı paydasından büyük veya eşit olan tüm kesirlere bileşik kesirler denir. İşareti önemli değildir.

$ \displaystyle \frac{a}{b}$ Bir bileşik kesir ise a≥b olmalıdır.

 3. Tam Sayılı Kesirler

Kesir çizgisinin sol tarafından 0’dan farklı bir tam sayı olan tüm kesirlere tam sayılı kesir denir.

Birleşik kesrin tam sayılı bir kesre çevrilmesi;

Tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilirken tam olan kısım ( işaret göz önüne alınmadan) payda ile çarpılıp pay ile toplanıp pay bölümüne yazılır. Payda ise bu işlemde aynı kalır.

Kpss genel yetenek matematik dersine ait Rasyonel Sayılar konusunu tamamladık. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz ise Rasyonel Sayılarda Dört İşlem olacaktır.

Bu yazı Rasyonel Sayılar ilk olarak şurada görüldü: .

OBEB – OKEK konumuz kpss matematik dersinde en sık ve neredeyse her yıl soru gelen bir konudur. OBEB – OKEK olarak kısaltılan bu konular Ortak Katların En Büyüğü ve Ortak Katların En Küçüğü anlamındadır.  Önceki konumuzda Asal Çarpanlara Ayırmayı hep birlikte incelemiştik. Sıradaki konumuz ise OBEB – OKEK konusu olacak.

OBEB – OKEK

a. OBEB

Aynı anda iki veya daha fazla tam sayıyı bölen pozitif bölen sayıların en büyüğüne bu sayıların Ortak Bölenlerinin En Büyüğü (OBEB) denir. İki yolla bulunabilir.

1. Yol

Verilen sayılar birlikte asal çarpanlarına ayrılır. Bu iki sayıyı aynı anda bölebilen sayılar işaretlenir. Ve işaretlenen bu sayılar çarpılır.

OBEB (24,36,54)=2.3=6

2. Yol 

Verilen sayılar asal çarpanlara ayrılır ve ortak asal çarpanlardan üslerinin en küçük olanları alınır ve çarpılır.

B. OKEK

İki yada daha fazla tam sayının ortak katlarının en küçüğüne OKEK denir. OKEK iki yolla bulunabilir.

1.Yol

Verilen sayılar beraber asal çarpanlara ayrılır ve bu sayıları bölen asal çarpanlar birbirleriyle çarpılır.

OKEK (36, 48)$ \displaystyle ={{2}^{4}}{{.3}^{2}}$

=16.9=144

2.Yol

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ve ortak asal çarpan sayılardan üslerinin en büyükleri ile ortak olmaya asal çarpan çarpılır.

OBEB bölen sayıyı ( genellikle küçük sayıyı),  OKEK ise bölünen sayıyı (genellikle büyük sayıyı) temsil eder. OBEB i ve OKEK i alınacak sayılar eşit ise OBEB ve OKEK o sayıya eşittir.

Kpss genel yetenek matematik dersine ait OBEB – OKEK konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz ise Rasyonel Sayılar olacaktır.

Bu yazı OBEB – OKEK ilk olarak şurada görüldü: .

Asal Çarpanlara Ayırma konumuzda kpss sınavında çok sık soru gelmemektedir. Fakat değişen sistem ve yeni kpss düzenine göre soru gelebilme olasılığı yüksektir. Asal Çarpanlara Ayırma konusunun mantığını kavramak önemlidir. Önceki konumuzda Bölünebilme Kurallarını işlemiştik. Sıradaki konumuz ise Asal Çarpanlara Ayırma olacaktır.

Asal Çarpanlara Ayırma

Bir doğal sayının asal çarpanlarını bulabilmek için bu doğal sayıyı bölünebildiği en küçük doğal sayıdan başlayarak sırasıyla asal sayılara bölmemiz gerekir. Yani Asal Çarpanlara Ayırma işlemini uygulamamız gerekir. Bulduğumuz bölümler çarpımı sayının asal çarpanlara ayrılmış şeklidir.

Örneğin; 36 sayısı asal çarpanlara şu şekilde ayrılır.

$ \displaystyle 36={{2}^{2}}{{.3}^{2}}$

36’nın içerisinde 2 tane 2 çarpanı, 2 tane 3 çarpanı vardır. yani 36’nın asal çarpanları 2 ve 3 ‘ tür.

Asal Çarpanlara Ayırma ilgili 8 farklı soru tipi gelebilir.

1. Sayının Pozitif Bölenlerinin Sayısı (P.B.S)

Pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için verilen sayının kaç tane tam sayı bölenin olduğuna bakmalıyız.

Örneğin 12 sayısını tam olarak bölen pozitif tam sayılar,  1,2,3,4,6 ve 12 olmak üzere 6 tanedir. Eğer biz bunu bağıntı yardımı ile bulmak istersek önce 12 sayısını asal çarpanlara ayırırız.

$\displaystyle 12={{2}^{2}}.3$ şimdi asal çarpanların kuvvetlerini 1 arttırıp çarpalım.

$\displaystyle 12={{2}^{2}}.3$

(2+1).(1+1)=3.2=6 tanedir.

$ \displaystyle A={{a}^{x}}.{{b}^{y}}.{{c}^{z}}$ ise

P.B.S=(x+1)(y+1)(z+1) dir.

Bir sayının kaç tane pozitif tam bölen sayısı varsa o kadar negatif bölen sayısı vardır. Örneğimizdeki gibi 12 sayısının 6 tane pozitif tam sayı böleni varsa 6 tane de negatif tam böleni vardır.

Pozitif tam böleni demek doğal tam sayı böleni doğal sayı böleni demektir.

2. Bir Sayının Tam Bölenlerinin Sayısı (T.B.S)

Bir sayının pozitif ve negatif bölenleri sayısı aynı olduğu için pozitif bölen sayısını 2 ile çarparsak tam bölen sayısını bulmuş oluruz.

3. Bir Sayının Asal Bölen Sayısı

Asal bölen sayısını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırıp tabanları işaretlememiz yeterlidir.

4. Bir Sayının Tam Bölenleri Toplamı

Bir sayının tam bölenlerinin toplamı daima sıfırdır.

Kpss genel yetenek matematik dersine ait Asal Çarpanlara Ayırma konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz OBEB-OKEK olacaktır.

Bu yazı Asal Çarpanlara Ayırma ilk olarak şurada görüldü: .